静定平面桁架和组合结构

直杆在垂直于杆轴线的外力作用下，杆件的轴线变成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。本章是研究梁弯曲时的内力计算及作内力图（Q、M图），并进行强度计算；此外还有组合变形的计算等。但本章的内力（剪力和弯矩）计算要比上两章所研究内力计算稍为复杂。特别是内力的正、负号确定规律更须明确，否则难以进行求解梁弯曲时的内力及作内力图。
　　1 　关于平面弯曲、弯曲内力的概念与定义
　　弯曲——构件受到垂直于轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用，其轴线从直线弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲。
　　梁——承受弯曲的构件称为梁。通常可分为简支梁、悬臂梁和外伸梁三类基本梁，（见左图）。
　　平面弯曲——梁具有纵向对称面，所有外力均作用在该对称面内。梁变形后，其轴线在该对称面内弯曲或一条平面曲线，这是弯曲问题中最基本也是最重要的一种变形形式（见下图）。

纯弯曲——梁横截面上只有弯矩一种内力（见右图）。

　　剪力——在梁在某横截面上，与外力主矢量平衡的内力分量，它与横截面平行，记作F_Q。
　　弯矩——在梁的某横截面上，与外力主矩平衡的内力，其矢量垂直于梁的轴线，记作M。
　　剪力方程与弯矩方程——表示剪力、弯矩沿梁轴线变化规律的函数

式。记作F_Q=F_Q(x),M=M_(x) 。
　　剪力图与弯矩图——表示剪力与弯矩沿梁轴线变化的图形。 2 　剪力、弯矩的正负号规定
　　剪力、弯矩正负号的规定使梁横截面两侧的剪力、弯矩有相同的正负号。为此，剪力、弯矩的正负号是由它们引起梁的变形情况来决定的。
　　在梁上截取微段，其横截面上的剪力、弯矩的正负号规定如左图所示。
　　确定某一指定截面上的剪力、弯矩仍采用截面法。一般步骤如下：
　　在指定截面处将梁截开，并任取其中一段为研究对象（一般取受力简单且已知外力的一段）。
　　画所取梁段的受力图，在截开的截面上按正方向画出未知剪力和弯矩。
　　由求剪力；由求弯矩M，注意C为所截截面的形心。由平衡方程求得的剪力、弯矩，若为正值，说明该截面上剪力、弯矩为正方向；若为负值，则为负方向。
　　考虑另一段梁的平衡，校核所得结果是否正确。该步骤可自己完成，不必写出。 3　剪力方程和弯矩方程
　　建立剪力方程和弯矩方程的方法与求指定截面上的剪力、弯矩的方法基本相同，差别在于，建立剪力、弯矩方程时所要求的是梁任意截面上的剪力和弯矩。此外，要注意外力突变对剪力、弯矩方程的影响。凡是集中力、集中力偶作用的截面及分布载荷不连续的截面均是控制面，控制面是建立剪力、弯矩方程的分段点。建立剪力、弯矩方程的具体步骤为：
　　沿梁轴线建立坐标系，并确定控制面。
　　在两个控制面之间的梁段内，取坐标为的任意截面，并从此处将梁截开。
　　画出所取梁段的受力图，在截开的截面上按正方向标出、。
　　由求剪力方程，由求弯矩方程，并标明各剪力方程、弯矩方程的适用范围，即的变化区间。 4 剪力图、弯矩图的画法及检验
　　剪力图与弯矩图的画法——建立剪力、弯矩方程后，用横坐标表示截面的位置；用纵坐标分别表示截面上的剪力、弯矩。作出剪力、弯矩方程的图形，即为剪力图和弯矩图。遇有需分段的情形，也要注意按各段的剪力、弯矩方程作各段的剪力、弯矩图，剪力、弯矩图形画好后，应标上正负号，并注明控制面上的剪力、弯矩值及极值。
　　剪力图与弯矩图的检验
　　利用剪力、弯矩、载荷集度间微分关系可以检验剪力、弯矩图的正确性。
　　剪力F_Q（x）、M（x）弯矩与载荷集度q（x）间的微分关系为:dF_Q(x)/(dx)=q,dM/(dx)=Q,d²M/(dx²)=q
　　以上三式是在规定分布载荷q 向上为正、以梁左端为坐标原点、x 轴向左为正的情况下推出的。因此，利用以上微分关系进行检验时，要注意所建立的坐标是否与上述要求一致，否则将会有正负号的差异。微分关系式的力学意义是梁段的平衡方程，几何意义则是F_Q 、M图线的斜率及M曲线的凸凹性间的关系。可简记为：F_Q平对M斜、F_Q 斜对M曲，具本可参见下表。

载荷情况	无载荷 q=0		均布载荷	集中载荷		集中力偶在C端面无变化
F_Q 图特征	水平曲线		上斜直线	下斜直线	在C端面有突变
	F_Q>0	F_Q<0	q>0	q<0

M 图特征	上斜直线	下斜直线	下凹曲线	上凸曲线	在C端面有转折角	在C端面有突变

5 建立F_Q 、M方程及画F_Q 、M图时应注意的问题
　　确定“控制面”上的弯矩和剪力时，要应用截面法，用假想截面从所考察的截面处将梁截开，与求拉伸和扭转时的内力一样，切不可将截面附近处作用的外力当作截面上的弯矩和剪力，特别是对于初学者这一点显得列加重要。对截面法较熟悉后，可以不必在纸面上画出截开后的图形，但一定要有截开的概念。
　　求约束力及截开后求剪力、弯矩时，可应用静力学中力的简化方法进行计算，但在截开之前，不能将梁上的外力简化，并用静力等效的梁替代原梁求剪力、弯矩。其中原因将在最后一小节中讨论。
　　弯矩、剪力的正负号不仅关系到所画的弯矩图和剪力图是否正确。而且对以后的强度和刚度计算都有很大的影响，因上要特别注意避免发生正负号的错误。因为弯矩和剪力的正负号是根据它们所引起的变形效果规定的，所以不仅要根据它们的作用方向，而且要考虑它们的作用面，然后按弯矩、剪力的符号规定来确定它们的符号。一般情况下，应先按弯矩、剪力的符号规定，假设截面上的弯矩和剪力为正方向，然后由平衡方程计算截面上的弯矩、剪力。若结果为正，则说明假设的正方向是正确的，即该截面上的弯矩、剪力均为正；若结果为负，则说明弯矩、剪力的实际方向相反，即为负。这样，由平衡方程所得到的弯矩、剪力的正负号与它们的实际情况是一致的。
　　